Cuando en geometría hablemos del Teorema de Tales (o Thales), debemos aclarar a cuál nos referimos ya que existen dos teoremas atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C.El primero de ellos se refiere a la construcción de un triángulo que sea semejante a otro existente (triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos)
a.-Primer teorema
Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre sí. El primer teorema de Tales recoge uno de los postulados más básicos de la geometría, a saber, que:
Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.
Entonces, veamos el primer Teorema de Tales en un triángulo:
COROLARIO
Al establecer la existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro.Por ejemplo, en la figura de la izquierda se observan dos triángulos que, en virtud del Teorema de Tales, son semejantes. Entonces, como corolario, el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el triángulo grande.
En virtud del teorema de Tales, ambos triángulos son semejantes y se cumple que:
Otra variante del Teorema de Tales
Si dos rectas cualesquieras (r y s) se cortan por varias rectas paralelas (AA’, BB’, CC’) los segmentos determinados en una de las rectas (AB, BC) son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra (A’B’, B’C’).
b.-Segundo teorema
El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado:Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. Entonces el ángulo ABC, es recto.
Este teorema es un caso particular de una propiedad de los puntos cocíclicos y de la aplicación de los ángulos inscritos dentro de una circunferencia.
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| Figura 1. Ilustración del enunciado del segundo teorema de Tales de Mileto. | Figura 2. Siempre que AC sea un diámetro, el ángulo B será constante y recto. |
COROLARIOS
Corolario 1 |
Ya que aplicando el teorema anterior, se sabe que para cualquier posición que adopte el vértice B vale la igualdad, OA = OB = OC = r, donde OB es la mediana de la hipotenusa.
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Aprendamos más viendo un video:
Mas Informacion en las sgts paginas web:
http://www.vitutor.com/geo/eso/ss_1.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Tales
SEMEJANZA DE TRIANGULOS
Los lados a y a', b y b', c y c' se llaman lados homólogos.
Son ángulos homólogos:
Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales.
La razón de la proporción entre los lados de los triángulos se llama razón de semejanza.
Videos:
TEOREMA DE PITAGORAS
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En un triángulo rectángulo, el
cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de
los catetos.
a2 + b2 =
c2
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Cada uno de los sumandos, representa
el área de un cuadrado de lado, a, b, c. Con lo que la expresión anterior, en
términos de áreas se expresa en la forma siguiente:
| ||
El área del cuadrado construido
sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas
de los cuadrados construidos sobre los catetos.
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DEMOSTRACIONES
GEOMÉTRICAS
PITÁGORAS.
Una de las demostraciones geométricas mas
conocidas, es la que se muestra a continuación, que suele atribuirse al propio
Pitágoras.
A partir de la igualdad de
los triángulos rectángulos es evidente la igualdad
a2 +
b2 = c2
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La relación que expresa el teorema de Pitágoras es
especialmente intuitiva si se aplica a un triángulo rectángulo e isósceles. Este problema lo trata Platón en sus famosos diálogos.
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La relación entre los catetos y la
hipotenusa de un triángulo rectángulo, aparece ya en los Elementos de Euclides.
Elementos de Euclides. Proposición I.47.
En los triángulos rectángulos el
cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es igual a los cuadrados de los
lados que comprenden el ángulo recto.
Para demostrarlo, Euclides construye
la figura que se representa a la derecha.
La prueba que da Euclides consiste en
demostrar la igualdad de las áreas representadas en el mismo color.
Videos:
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Mas informacion en
Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo
Seno
El seno del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
Se denota por sen B.
Coseno
El coseno del ángulo B es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.
Se denota por cos B.
Tangente
La tangente del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo.
Se denota por tg B.
Cosecante
La cosecante del ángulo B es la razón inversa del seno de B.
Se denota por cosec B.
Secante
La secante del ángulo B es la razón inversa del coseno de B.
Se denota por sec B.
Cotangente
La cotangente del ángulo B es la razón inversa de la tangente de B.
Se denota por cotg B.
Razones trigonométricas en una circunferencia
Se llama circunferencia goniométrica a aquélla que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidad.
En la circunferencia goniométrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj.
QOP y TOS son triángulos semejantes.
QOP y T'OS′ son triángulos semejantes.
El seno es la ordenada.
El coseno es la abscisa.
-1 ≤ sen α ≤ 1
-1 ≤ cos α ≤ 1
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